Можно ли просто заплатить штраф за это?

Добрый день.

1. В это время он будет находиться в другой стране. Сможет ли он встать на учёт позже, летом или осенью?

 Да, сможет.

В случае невозможности его постановки на учет в указанное в ст. 9 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» время — с 1 января по 31 марта, он может встать на учет в любое время в течение года.

На это прямо указано в постановлении Правительства РФ от  от 27.11.2006 N 719 «Об утверждении Положения о воинском учете»

Первоначальная постановка на воинский учет граждан женского пола после получения ими военно-учетной специальности, граждан мужского пола, не поставленных по каким-либо причинам на воинский учет в установленные сроки, а также лиц, получивших гражданство Российской Федерации, осуществляется военными комиссариатамив течение всего календарного года. 

То, что он не был поставлен на воинский учет в установленные сроки — ответственность для него не предполагает, поскольку он не получит повестки о явки для постановки на воинский учет.

Ввиду ее не получения собственно и исключена сама ответственность.

Уведомлять военкомат о выезде за границу до постановки на воинский учет он не обязан.

2. Ребенок в период первичной постановки на учёт находится в России, но через два месяца уезжает заграницу учиться в вузе. Могу ли я написать заявление в школу, что беру постановку на учёт на себя и можно ли ему не вставать на учёт, чтобы сразу же не начинать процесс снятия?

 Нет. Нельзя.

Во-первых, Вы к этому не имеете никакого отношения — поэтому различного рода поданные Вами заявления не имеют силу.

Во-вторых, поскольку он в период постановки на воинский учет будет находиться в РФ, то при его организации — он обязан встать на воинский учет.

Организация постановки осуществляется или централизовано, через учебное заведение или индивидуально путем вручения лицу повестки под роспись.

Снятие с воинского учета осуществляется одним днем и может быть осуществлено не ранее чем за 14 дней до предполагаемой даты выезда из РФ, на основании документов, подтверждающих выезд.

На это прямо указано в ст. 10 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе»

1. В целях обеспечения воинского учета граждане обязаны:
явиться в двухнедельный срок в военный комиссариат для постановки на воинский учет, снятия с воинского учета и внесения изменений в документы воинского учета при переезде на новое место жительства и (или) место пребывания, в том числе не подтвержденные регистрацией по месту жительства и (или) месту пребывания, либо выезде из Российской Федерации на срок более шести месяцев или въезде в Российскую Федерацию;

И приказе министра обороны РФ  от 22.11.2021 N 700 «Об утверждении Инструкции об организации работы по обеспечению функционирования системы воинского учета», определившим перечень документов предоставляемых с целью снятия с воинского учета.

В их числе как раз и называются проездные документы, подтверждающие его выезд за пределы РФ.

Таким образом, если он будет извещен о постановки на воинский учет через учебное заведение или ему будет вручена повестка о постановки на учет — он обязан явиться в военкомат и встать на воинский учет.