Сын расписался за маму, теперь утверждает что товар не поставлен и выставил просрочку поставки

Здравствуйте! Сын действовал в рамках ст. 183 ГК РФ, поэтому сделка считается исполненной в его интересах, поэтому согласно ст. 183 ГК РФ  При отсутствии полномочий действовать от имени другого лица или при превышении таких полномочий сделка считается заключенной от имени и в интересах совершившего ее лица, если только другое лицо (представляемый) впоследствии не одобрит данную сделку.

Если мебель уже была установлено, то это является доказательством факта одобрения.

Они могут обратиться в суд, однако согласно ст. 183 ГК РФПоследующее одобрение сделки представляемым создает, изменяет и прекращает для него гражданские права и обязанности по данной сделке с момента ее совершения

Согласно Информационному письму Президиума ВАС РФ от 23.10.2000 N 57 «О некоторых вопросах практики применения статьи 183 Гражданского кодекса Российской Федерации».

При разрешении споров, связанных с применением пункта 2 статьи 183 ГК РФ, судам следует принимать во внимание, что под прямым последующим одобрением сделки представляемым, в частности, могут пониматься письменное или устное одобрение, независимо от того, адресовано ли оно непосредственно контрагенту по сделке; признание представляемым претензии контрагента; конкретные действия представляемого, если они свидетельствуют об одобрении сделки (например, полная или частичная оплата товаров, работ, услуг,их приемка для использования, полная или частичная уплата процентов по основному долгу, равно как и уплата неустойки и других сумм в связи с нарушением обязательства; реализация других прав и обязанностей по сделке); заключение другой сделки, которая обеспечивает первую или заключена во исполнение либо во изменение первой; просьба об отсрочке или рассрочке исполнения; акцепт инкассового поручения.

Поэтому можете написать письменное заявление о том, что товар был поставлен, такого то числа, и Вы приняли его, о чем свидетельствует Ваша подпись, и поскольку мебель уже установлена, то Ваша мать одобрила Ваши действия согласно ст.183 ГК РФ, поэтому рассрочку платить не будете.

Если Вам нужна подробная консультация Вы можете написать мне в чат (личные сообщения). 
Хорошего дня!