Что делать и куда обращаться в подобной ситуации?

Это доказательства у вас всё равно, но строго говоря договор тоже должен быть

Данная ситуация регламентируется законом о защите прав потребителя и ГК РФ.

Согласно ст. 14 закона о защите прав потребителей

1. Вред, причиненный жизни, здоровью или имуществу потребителя вследствие конструктивных, производственных, рецептурных или иных недостатков товара (работы, услуги), подлежит возмещению в полном объеме.

Но нужны врачебные заключения, из которых следует, что всему виной конкретные процедуры или воздействия препаратов, которые использовал косметолог.

Согласно п. 16 Постановление Правительства РФ от 04.10.2012 N 1006
«Об утверждении Правил предоставления медицинскими организациями платных медицинских услуг» договор заключается потребителем (заказчиком) и исполнителем в письменной форме.

При этом суд по ст 17 закона о защите прав потребителей можно провести по месту вашего жительства.

При цене иска до 100.000 суд идет мировой, свыше уже районный. Гос пошлина не платиться при цене иска до 1 млн.

При этом можно так же требовать и полное возмещение вреда здоровью по ст 14 и + моральный вред по ст 15- но большим он не будет.

Так же в суде можно требовать штраф в размере 50% от выигранной суммы за отказ вам в претензии по ст 13 зпп.

При цене иска до 100.000 суд идет мировой, свыше уже районный. Гос пошлина не платиться при цене иска до 1 млн.

 В данном случае исковое заявление подается в районный суд.

Ввиду того, что иск подается о возмещении вреда причиненного здоровью — такие иски подсудны районным судам.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 26.01.2010 N 1
«О применении судами гражданского законодательства, регулирующего отношения по обязательствам вследствие причинения вреда жизни или здоровью гражданина»

1. В силу пункта 1 части 1 статьи 22 Гражданского процессуального кодекса Российской Федерации (далее — ГПК РФ) дела по спорам о возмещении вреда, причиненного жизни или здоровью гражданина, подведомственны судам общей юрисдикции.
Указанные дела, в том числе о компенсации морального вреда при причинении вреда жизни или здоровью гражданина, в соответствии со статьями 23 и 24 ГПК РФ подсудны районным судам.

Согласно ст.7 Закона о защите прав потребителей 

Потребитель имеет право на то, чтобы услуга при обычных условиях ее использования была безопасна для здоровья потребителя.

Вам нужно сейчас собрать доказательственную базу, при ее наличии Вы можете обратиться в суд с иском и требовать возврата стоимости услуги, компенсации морального вреда, убытков и т.д..