Для получения заработной платы необходимо заключение трудового договора. Поэтому «незапятнанная» трудовая книжка и полный расчет - два взаимоисключающих понятия.
По правилам ст.67 ТК РФ трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом. Ваш случай (незаключение письменного трудового договора) — нарушение трудового законодательства.
В соответствии со ст.66 ТК РФ работодатель (за исключением работодателей — физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной.
Если в Вашу трудовую книжку внесена запись о приеме на работу, то отношения следует квалифицировать трудовыми. В этой связи уволиться по собственному желанию (по ст.80 ТК РФ) Вы можете лишь предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели. Закон предоставляет возможность указанный срок уменьшать лишь по обоюдному соглашению сторон. Поэтому Вы не вправе устанавливать срок увольнения по своему усмотрению. В случае неявки на работу в период двухнедельного срока предупреждения об увольнении к Вам может быть применено дисциплинарное взыскание в виде увольнения за прогул.
Рекомендую в письменной форме запросить копию трудовой книжки, чтобы наверняка знать, есть запись о приеме на работу или нет. Согласно ст.62 ТК РФ работодатель обязан ее предоставить в течение трех дней со дня обращения работника. В случае нарушение установленного срока Вы можете обратиться в государственную инспекцию труда. Здесь же можете жаловаться на незаключение трудового договора.