Здравствуйте, Марина!
То, что Вы устраивались на удаленную работу, не отменяет обязательности оформления трудового договора как это предусмотрено нормами Трудового Кодекса. Причем в соответствии со ст. 312. 2 ТК РФ:
Трудовой договор предусматривающие выполнение работником трудовой функции дистанционно, могут заключаться путем обмена между работником (лицом, поступающим на работу) и работодателем электронными документами
В соответствии со ст. 67 ТК РФ:
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя.
Вы проработали несколько месяцев, Вам перечисляли зарплату - факт трудовых отношений налицо.
Вы можете обратиться в трудовую инспекцию с жалобой, либо сразу обратиться в суд. Отношения между Вами и работодателем будут признаны трудовыми. Суд при этом может вынести решение об обязании работодателя заключить с Вами трудовой договор, внести соответствующую запись в трудовую книжку. Кроме того, Вы вправе предъявить работодателю и другие требования связанные с трудовыми правоотношениями: направить сведения о Вас в соответствующие фонды, налоговые органы, выплатить задолженность по заработной плате, компенсацию морального вреда.
Исковое заявление можно подать в суд общей юрисдикции как по месту нахождения ответчика, так и по месту Вашей регистрации.
Работодатель же может быть привлечен к административной ответственности, Вам же эта ситуация ничем не грозит.
Кстати в претензии работодателю вы можете сослаться на то обстоятельство, что работодатель грубейшим образом нарушил трудовое законодательство и в случае вашего обращения в трудовую инспекцию, прокуратуру с соответствующей жалобой ему грозит привлечение к административной ответственности по статье 5.27 КоАП РФ
https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34661/7ff50b874c8cbce814266fd45eb5fff8b30449b6/
Также в претензии работодателю укажите на то, что за полную невыплату свыше двух месяцев заработной платы или частичную невыплату зарплаты свыше трех месяцев работодатель может быть привлечён уже к уголовной ответственности по статье 145.1 УК РФ
www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_10699/cd3e8b59f3f95471173b3cce472934e8871e64b3/