Нужна ли для этого прописка, и смогу ли я её к себе прописать?

С учётом моего ответа выше далее:

Договор  между Российской Федерацией и Республикой Беларусь о  сотрудничестве в области социального обеспечения закрепляет соответствующий порядок указанный в   V. Трудовые пенсии по возрасту (старости), инвалидности, по случаю   потери кормильца, за выслугу лет, социальные пенсии.

Из Договора и  V. Трудовые пенсии по возрасту (старости), инвалидности, по случаю
потери кормильца, за выслугу лет, социальные пенсии следует:

2. При переезде лица, которому назначена пенсия (за исключением социальной пенсии), с территории одной Договаривающейся Стороны на территорию другой Договаривающейся Стороны для проживания выплата пенсии продолжается Договаривающейся Стороной, ее назначившей.-https://docs.cntd.ru/document/901988276

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

С учётом моих ответов выше далее:

Что касается порядка обращения и необходимых документов. соответствующие разъяснения приведены Социальным фондом РФ.

Из указанных разъяснения по официальной ссылке следует:

В целях реализации права на назначение пенсии граждане… Республики Беларусь, проживающие на территории Российской Федерации, с заявлением о назначении пенсии...

К заявлению должны быть приложены документы,  необходимые для назначения пенсии в соответствии с законодательством Российской Федерации и Республики Беларусь: удостоверяющие личность, возраст, место жительства, принадлежность к гражданству (паспорт, вид на жительство), подтверждающие наличие страхового (трудового) стажа (трудовая книжка, справки о работе и т.д.) и другие, необходимые для назначения пенсии (свидетельство о браке, свидетельства о рождении детей, диплом).-https://sfr.gov.ru/branches/voronezh/news~2019/05/13/181814

Вы можете её зарегистрировать  у себя.

Свои уточнения Вы также можете писать мне в личный чат, пройдя по ссылке на мой личный профиль:https://pravoved.ru/lawyer/798541/

нажав кнопку «Общаться в чате».