Здравствуйте, Стас!
То, что Вы называете «открыть самозанятость» — это постановка гражданина на учет в качестве плательщика НПД (налога на профессиональный доход). Плательщиком НПД может быть физ.лицо со статусом индивидуального предпринимателя или без такового.
Если для работников вашей сферы деятельности нет ограничений на занятие предпринимательской или профессиональной деятельностью, установленных законом, то деятельность «самозанятого» никак не отразится на трудовых отношениях.
Поскольку Вы не указали, ни где Вы работаете ( в какой отрасли, в бюджетной организации или коммерческой), ни на какой должности, ничего более определенного сказать не представляется возможным.
Если у Вас еще остались вопросы, Вы можете задать их мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).