В какой форме заключается договор купли‑продажи мопеда и как решить спор о его наличии?

Измениться ли решение задачи, если будет установлено что свидетелями договора купли-продажи являлись Семенов и Семенова?

 Согласно ст. 162 Гражданского Кодекса РФ:

1. Несоблюдение простой письменной формы сделки лишает стороны права в случае спора ссылаться в подтверждение сделки и ее условий на свидетельские показания, но не лишает их права приводить письменные и другие доказательства.

Показания свидетелей — недопустимые доказательства по данному спору в суде, поэтому решение суда не изменится  от наличия свидетелей заключения сделки, если простая письменная форма не была соблюдена.

ГК РФ Статья 161. Сделки, совершаемые в простой письменной форме
 1. Должны совершаться в простой письменной форме, за исключением сделок, требующих нотариального удостоверения:
2) сделки граждан между собой на сумму, превышающую десять тысяч рублей, а в случаях, предусмотренных законом, — независимо от суммы сделки.

Таким образом при купли продажи имущества, стоимостью 10  000 и более должен быть составлен письменный договор.

Это обязательное условие.

Иванову по истечении 10 дней после заключения договора купли-продажи. Петров получил деньги но мопед передать отказался.

Если деньги были получены путем перевода, то можно попробовать взыскать как неосновательное обогащение.

В качестве доказательств может быть принята переписка, выписка из банка.

как разрешить данный спор?

 Спор в данном случае разрешается исходя из требований ст. 309 ГК РФ предполагающей исполнять возложенные обязательства, что предполагает возложения обязанности передать товара.

Также возможно применение последствий ст. 463 ГК РФ 

1. Если продавец отказывается передать покупателю проданный товар, покупатель вправе отказаться от исполнения договора купли-продажи.

Измениться ли решение задачи, если будет установлено что свидетелями договора купли-продажи являлись Семенов и Семенова?

 Если договор не был заключен в надлежащей форме — то в силу ст. 162 ГК РФ стороны не вправе ссылаться на свидетельские показания в подтверждение его условий, но это не лишает их права приводить письменные и другие доказательства.