Здравствуйте, подскажите пожалуйста, если я по болезни подал на увольнение, жду ответа с части, могу ли я устроиться на работу официально?

Здравствуйте. Нет, не можете. Пока нет приказа об отчислении из списков воинской части, вы являетесь военнослужащим.

Согласно Федерального закона от 27.05.1998 N 76-ФЗ «О статусе военнослужащих», статья 10 Право на труд:

7. Военнослужащие не вправе:

заниматься другой оплачиваемой деятельностью, за исключением педагогической, научной и иной творческой деятельности, а также участия в спортивных мероприятиях в качестве спортсменов (при условии их включения в списки кандидатов в спортивные сборные команды Российской Федерации), если это не препятствует исполнению обязанностей военной службы.

заниматься предпринимательской деятельностью лично или через доверенных лиц, в том числе участвовать в управлении коммерческими организациями, за исключением случаев, когда непосредственное участие в управлении указанными организациями входит в должностные обязанности военнослужащего, а также оказывать содействие физическим и юридическим лицам в осуществлении предпринимательской деятельности, используя свое служебное положение;