Добрый вечер!
Да, для этого необходимо подать соответствующее исковое заявление в суд и при его удовлетворении направить судебный акт в службу судебных приставов или работодателю.
Обязанность по уплате алиментов прекратится в данном случае после вступления решения суда в законную силу (т.е. не с момента фактического переезда ребенка к истцу и не с момента подачи им иска об освобождении от уплаты алиментов).
Согласно разъяснениям Верховного Суда РФ подобная процедура решения вопроса об освобождении от уплаты алиментов применяется в тех случаях, когда взыскатель алиментов (тот родитель, с кем ребенок проживал ранее) не отказался от дальнейшего получения алиментов. В то же время при отказе взыскателя в указанных случаях от дальнейшего взыскания алиментов или задолженности по алиментам в судебном порядке решается вопрос о прекращении исполнительного производства по взысканию алиментов (разница в том, что рассматривает этот вопрос тот суд, который своим судебным актом — решением или приказом — взыскал алименты, и поводом для рассмотрения данного вопроса будет являться не исковое заявление, а заявление о прекращении исполнительного производства).