Здравствуйте, Дмитрий!
Ситуация, конечно, не стандартная, морально устаревшим ТК РФ не охватывается. Но, как говорится — что имеем.
Направление в командировку по совместительству не освобождает Вас от выполнения обязанностей по основной работе. Если Вы не выйдете по режиму работы как преподаватель, то вам в табеле по закону должны выставить неявки и не оплачивать время отсутствия.
Если вуз является вашим работодателем и по основной работе, и по совместительству, то говорить о неявке по невыясненной причине или прогуле вряд ли возможно (причина работодателю ясна и она уважительная), однако и платить за неотработанное время работодатель не обязан. В то же время отпуск без сохранения заработной платы по закону предоставляется по просьбе работника (ст. 128 ТК РФ), а не по инициативе работодателя.
Тем не менее, Роструд полагает, что в подобных ситуациях, действительно, при направлении в командировку по одному месту работы, работник должен попросить по другому месту работы отпуск без сохранения заработной платы (См., например, Письмо Роструда от 24.01.2020 N ПГ/37451-6-1).
Если Вам помог мой ответ, Вы можете отблагодарить меня небольшой суммой через мой профиль по ссылке.
Дополнительные вопросы Вы можете задать мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).
Командировка не является выполнением
С вами заключён трудовой договор в котором в обязательном порядке должно быть прописано рабочее место, и если в трудовом договоре нет условий о командировках, то данное условие о командировках не применимо в одностороннем порядке, на основании ст. 60 ТК РФ
Таким образом, без письменного согласия самого работника на данные командировки, у работодателя нет прав отправлять работника в командировку без письменного согласия работника.