Что мне делать в такой ситуации

Могу ли я потребовать с них документ и какой чтобы пользоваться прицепом.

 Пока не будет завершена проверка и прицеп не будет поставлен на учет Вы им пользоваться не сможете.

Владельцы прицепов обязаны поставить их на  учет в течение 10 дней со дня приобретения.

После совершения регистрационных действий в отношении прицепа оформляется СТС, о чем указано в ст 10 ФЗ  от 03.08.2018 N 283-ФЗ «О государственной регистрации транспортных средств в Российской Федерации и о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации»

6. После совершения регистрационного действия, не связанного с прекращением государственного учета транспортного средства или со снятием транспортного средства с государственного учета после его утилизации, регистрационным подразделением выдается регистрационный документ с отраженным в нем результатом регистрационного действия.

И также присваиваются номера, о чем указано в Постановление Правительства РФ от 21.12.2019 N 1764 на этот счет оговорено, что 

37. Постановка транспортного средства на государственный учет сопровождается присвоением транспортному средству государственного регистрационного номера — индивидуального буквенно-цифрового обозначения, присваиваемого транспортному средству регистрационным подразделением.

Поскольку такого рода действия не совершены — то прицеп на учет не поставлен, что исключает возможность его эксплуатации.

И ввиду того, что на учете он не состоит — Вы используя его рискуете быть привлеченным к административной ответственности.