Как действовать, если она всё таки заведёт кошку?

Может ли бывшая жена завести кошку?
С юридической точки зрения, проживая в квартире на праве долевой собственности (1/2), она формально имеет право пользоваться своей половиной имущества, и это может включать содержание питомца. Однако это право не абсолютно и ограничено вашими правами, особенно правом на охрану здоровья и благоприятную среду обитания. Ваша аллергия является серьезным медицинским противопоказанием к нахождению кошки в квартире. Судебная практика в России часто встает на сторону лица, чье здоровье страдает из-за животных, заведенных соседями по коммуналке или совладельцами.

Какими нормативными документами это регулируется?
Основное регулирование содержится в следующих нормах:

Жилищный кодекс РФ (ЖК РФ): Статья 30 обязывает собственника при пользовании жилым помещением соблюдать права и законные интересы соседей, санитарно-гигиенические, экологические и иные требования. Статья 31 (применительно к членам семьи собственника по аналогии) говорит об ответственности за действия, нарушающие права соседей. Статья 67 прямо запрещает пользование жилым помещением с нарушением прав и интересов соседей (для нанимателей, но принцип распространяется и на собственников в долевой собственности при конфликте интересов).
Гражданский кодекс РФ (ГК РФ): Статья 209 устанавливает, что собственник владеет, пользуется и распоряжается имуществом, но не должен нарушать права других лиц. Статья 247 (порядок владения и пользования имуществом в долевой собственности) требует соглашения между сособственниками, а при его отсутствии – установления порядка судом, учитывая сложившийся порядок и нуждаемость каждого. Ваша медицинская потребность (отсутствие аллергена) будет весомым аргументом.
Федеральный закон «О санитарно-эпидемиологическом благополучии населения» (№ 52-ФЗ): Статья 10 гарантирует право на благоприятную среду обитания. Наличие аллергена, вызывающего заболевание, может рассматриваться как нарушение санитарных норм.
Закон РФ «О защите прав потребителей» (если животное влияет на условия проживания): Менее прямая отсылка, но может использоваться косвенно.
Постановления Пленумов Верховного Суда РФ: Они обобщают практику, и есть решения, где суды обязывали удалить животных из общего жилья из-за аллергии или иных нарушений прав сособственников (например, сильный запах, шум, антисанитария).
Как действовать, если она все-таки заведет кошку?
Ваши действия должны быть последовательными и документированными:

Соберите медицинские доказательства: Обратитесь к аллергологу-иммунологу, получите официальное медицинское заключение, подтверждающее ваш диагноз аллергии на кошек и рекомендации избегать контакта с аллергеном.
Направьте письменное уведомление бывшей жене: Составьте заказное письмо с уведомлением о вручении. В нем четко укажите, что вы являетесь сособственником квартиры (1/2), имеете подтвержденную медицинским заключением аллергию на кошек, и просите ее воздержаться от заведения кошки, так как это нарушает ваше право на благоприятную среду обитания и охрану здоровья. Приложите копию медицинского заключения. Сохраните копию письма и уведомление о вручении.
Попробуйте договориться (если возможно): Обсудите ситуацию с бывшей женой, покажите заключение врача, предложите альтернативы (гипоаллергенные породы кошек, если такое возможно при вашей аллергии и с согласия врача, или других питомцев, на которых у вас нет аллергии). Фиксируйте все попытки договориться (аудиозапись с ее согласия, свидетели, переписка).
Если кошка появилась:

Фиксируйте факт: Сделайте фото/видео животного в квартире, по возможности получите свидетельские показания (например, соседей, которые видели кошку или слышали разговоры о ней).
Фиксируйте ухудшение здоровья: Обращайтесь к врачу при каждом обострении аллергии, получайте справки, фиксируйте расходы на лекарства.
Направьте повторное письменное требование: Требуйте немедленно удалить кошку из квартиры, ссылаясь на нарушение ваших прав и ранее направленное предупреждение с медицинским заключением.
Обратитесь в суд: Если мирно решить вопрос не удалось, подавайте исковое заявление в районный суд по месту нахождения квартиры. Требуйте:

Обязать бывшую жену удалить кошку из квартиры.
Запретить ей содержать кошку в данной квартире.
Взыскать с нее расходы на лекарства, связанные с обострением аллергии (при наличии доказательств).
Взыскать судебные издержки.
Основные аргументы в суде: Нарушение ваших прав как сособственника (ст. 247 ГК РФ), нарушение санитарных норм и вашего права на благоприятную среду (ст. 10 Закона № 52-ФЗ, ст. 30 ЖК РФ), наличие медицинского заключения, подтверждающего вред здоровью, недопустимость злоупотребления правом со стороны бывшей жены (ст. 10 ГК РФ).
Важно: Шансы на успех в суде значительно повышаются при наличии официального медицинского заключения и документально подтвержденных попыток решить вопрос мирно (письменные уведомления). Суд будет учитывать баланс интересов, и ваше право на здоровье, подкрепленное медицинскими документами, будет иметь больший вес, чем ее желание завести именно кошку в этих обстоятельствах.