Переехал в другой город, пытаюсь встать на воинский учет для получения военного билета, мне отказывают по причине отсутствия прописки

Данный отказ незаконен. 

Федеральным законом от 06.02.2019 N 8-ФЗ «О внесении изменений в Федеральный закон „О воинской обязанности и военной службе“ установлено, что воинский учет граждан, не имеющих регистрации по месту жительства и месту пребывания, а также граждан, прибывших на место пребывания на срок более трех месяцев и не имеющих регистрации по месту пребывания, осуществляется военными комиссариатами по месту, указываемому гражданами в заявлении в качестве места их пребывания (учебы), по форме и в порядке, которые устанавливаются Положением о воинском учете.

Руководители, другие ответственные за военно-учетную работу должностные лица (работники) организаций обязаны, в числе прочего, направлять в двухнедельный срок в военные комиссариаты сведения о случаях выявления граждан, не состоящих на воинском учете, но обязанных состоять на воинском учете; вручать гражданам, не состоящим на воинском учете, но обязанным состоять на воинском учете, направление в военный комиссариат для постановки на воинский учет.

Вы исполняете Вашу обязанность согласно ст.10 указанного ФЗ