Могу ли я не подписывать договор

Вы можете не подписывать новую должностную инструкцию, если она ухудшает ваши текущие условия или добавляет неоговоренные ранее обязанности. Однако полностью отказываться от подписания любых документов о ваших обязанностях рискованно.

Подробнее:

Вы уже работаете. Факт работы более года означает, что трудовой договор заключён фактически. Работодатель нарушил закон, не выдав вам его копию, но трудовые отношения существуют.
Должностная инструкция (ДИ) — это документ, который детализирует ваши функции. Работодатель имеет право знакомить вас с такими документами.
Почему не стоит просто отказаться?

Отказ от ознакомления с документом, связанным с работой, могут расценить как неисполнение обязанностей.
За это могут применить дисциплинарное взыскание (замечание, выговор).
Как правильно поступить:

Требуйте свой экземпляр трудового договора (это ваше право по ст. 67 ТК РФ).
Внимательно сравните новую инструкцию с тем, что вы фактически делали все это время.
Если инструкция вас не устраивает (добавляет новые обязанности без повышения оплаты и т.п.), не подписывайте её. Вместо этого составьте письменное возражение на имя работодателя. Укажите, что:

Вы не отказываетесь работать.
Вы готовы выполнять обязанности, которые исполняли ранее.
Новая инструкция меняет ваши условия труда, а такие изменения требуют вашего согласия (по ст. 72 ТК РФ) и оформления дополнительного соглашения к договору.
Подайте возражение через канцелярию (получите отметку о вручении) или заказным письмом.
Итог: Не подписывайте то, с чем не согласны. Требуйте договор, фиксируйте несогласие письменно. Если давление продолжится — обращайтесь в Государственную инспекцию труда.