И как обязать работодателя продлить контракт по закону?

Анатолий, здравствуйте!

Ситуация с ежегодным заключением срочного трудового договора в ФГБУ пожарной части, когда работа носит постоянный характер, не вполне законна, а манипуляции начальства, хотя и распространены, не являются правомерными.
Ваши трудовые отношения должны быть оформлены бессрочным трудовым договором.
 
Статья 58 Трудового кодекса прямо запрещает заключение срочных трудовых договоров в целях уклонения от предоставления прав и гарантий, предусмотренных для работников, с которыми заключен бессрочный договор.

Срочный договор можно заключать только при наличии конкретных оснований, перечисленных в статье 59 ТК РФ (например, на время выполнения сезонных работ, замещения временно отсутствующего работника, для выполнения конкретного проекта с ограниченным сроком).

Ссылка на то, что договор с работником подписывается на срок действия договора с объектом, может быть законным основанием только в том случае, если в договоре с работником четко указано, что он принят на работу для выполнения работ, связанных с конкретным срочным договором с объектом, и только на период выполнения этих работ.

Непрерывность стажа не меняет сути договора. Если работа постоянная, она не может быть срочной.

Манипуляции начальства, что могут «не подписать» новый контракт, основаны на юридической неграмотности работников. Если договор истек, работник считается уволенным, а не «не продленным».
 
Может ли работодатель не продлить договор просто по своему желанию?

Да, может. Если договор срочный, он прекращает свое действие в связи с истечением срока, и работодатель имеет право не предлагать новый договор. Об этом работника должны уведомить за 3 дня до увольнения.
По закону нельзя обязать работодателя продлить срочный договор.
Но можно обязать его оформить трудовые отношения правильно — бессрочно.

Ваша цель — не продление, а изменение типа договора. 

Если ни одна из сторон не потребовала расторжения договора в связи с истечением его срока (например, работодатель не уведомил вас за 3 дня об увольнении) и вы продолжили работать, то условие о срочном характере утрачивает силу, и договор считается заключенным на неопределенный срок (ст. 58 ТК РФ, часть 4).

Подайте жалобу в ГИТ (можно анонимно или через электронную приемную). Укажите, что ваша работа носит постоянный характер, а с вами незаконно заключают срочные договоры. ГИТ проведет проверку и обяжет работодателя устранить нарушения и заключить бессрочные трудовые договоры.

Если ГИТ не поможет или вы хотите решить вопрос кардинально, вы можете обратиться в суд с иском о признании трудового договора бессрочным.

Соберите доказательства постоянного характера работы (описание должностных обязанностей, график работы, отсутствие указания на конкретный проект или сезонность в трудовом договоре) и обращайтесь в ГИТ.