Мой вопрос: могут ли его отпустить в Кыргызстан для регистрации брака со мной?

Здравствуйте, Жанара!

С технической стороны — да, ваш парень‑гражданин России может поехать в Кыргызстан, въезд для него безвизовый (по внутреннему или загранпаспорту), и вы можете там зарегистрировать брак как гражданка Кыргызстана с иностранным гражданином (в его случае — РФ.
Что важно учесть
В Кыргызстане регистрация брака гражданина КР с иностранным гражданином возможна, но нужны стандартные документы: паспорта, справка о незамужестве/холостом статусе вашего парня из России (с апостилем и переводом на кыргызский/русский), заявление и т.п. 
Брак, заключённый в Кыргызстане по местным законам, будет признаваться и в России, при условии, что он не противоречит российскому семейному законодательству (СК РФ). 
Отпуск по СВО и «могут ли отпустить»
Решение об отпуске и направлении военнослужащего на СВО принимает командование части, а не ЗАГС или вы как гражданин. 
Однако наличие регистрации брака (или планируемой даты регистрации) может быть использовано как уважительное личное обстоятельство для получения краткосрочного отпуска или перераспределения графика, но это на усмотрение командования. 
Практический совет
Вашему парню лучше заранее:
согласовать с командованием возможность отпуска;
подготовить российскую справку о незаключённости брака (о холостом/незамужнем статусе) с апостилем и переводом; 
подать заявление в ЗАГС Кыргызстана (лично или через представителя, если местные правила позволяют подачу отдельных заявлений). 

Если вам нужна подробная консультация или подготовка документа — пишите мне в чат.

Если ответ полезен, то поставьте ⊕