После смерти бабушки в 2003, отец не оформил на себя ее долю и не вступил в наследство, квартирой он никогда не

Отец считается принявшим наследство, если на момент смерти бабушки он проживал или был зарегистрирован вместе с ней, либо совершил иные действия по принятию наследства, указанные в статье 1153 Гражданского Кодекса РФ:

вступил во владение или в управление наследственным имуществом; 
принял меры по сохранению наследственного имущества, защите его от посягательств или притязаний третьих лиц;

произвел за свой счет расходы на содержание наследственного имущества; 
оплатил за свой счет долги наследодателя или получил от третьих лиц причитавшиеся наследодателю денежные средства.

Отец также написал завещание, что отдает все мне, без уточнений. Будет ли это играть роль в моей доле?

Если отец не изменит или не отменит это завещание, то после его смерти Вы унаследуете всё имущество, ему принадлежащее на день его смерти, в том числе, и бабушкину долю, даже если он и не оформит на неё право собственности.

 Но если будут другие наследники, которые будут иметь право на обязательную долю в наследстве, то всё имущество отца Вам не достанется, т.к. согласно ст. 1149 Гражданского Кодекса РФ:

1. Несовершеннолетние или нетрудоспособные дети наследодателя, его нетрудоспособные супруг и родители, а также нетрудоспособные иждивенцы наследодателя, подлежащие призванию к наследованию на основании пунктов 1 и 2 статьи 1148 настоящего Кодекса, наследуют независимо от содержания завещания не менее половины доли, которая причиталась бы каждому из них при наследовании по закону (обязательная доля)

Поэтому лучше уговорить отца, чтобы он оформил наследство на бабушкину долю и сразу подарил её Вам, а лучше — вместе со своей долей, чтобы точно квартира вся стала Вашей.

Так, документ о совместном проживании вместе с наследодателем на день открытия наследства, подтверждает факт принятия наследства, согласно разъяснениям, данным в п. 36 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 29.05.2012 N 9  «О судебной практике по делам о наследовании». 

При этом также согласно п. 36  Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 29.05.2012 N 9  «О судебной практике по делам о наследовании», то обстоятельство, что жилое помещение находилось в долевой собственности с наследодателем, доля в праве собственности которого входит в состав наследства, не подтверждает фактическое принятие наследства другим собственником — наследником. 

Отец также написал завещание, что отдает все мне, без уточнений. Будет ли это играть роль в моей доле?

В этом случае, если в завещании нет указания на определенное имущество, указано на завещание всего имущества,  — то все имущество наследодателя ( отца), которое у него будет в собственности к моменту его смерти будет по завещанию переходить к Вам. 

Вы сможете после его смерти только оформить право собственности на эту долю в порядке наследования. 

Ваша доля,  у Вас так и остается в собственности, вне зависимости от содержания завещания. 

Наследство можно принять не только путем обращения к нотариусу, но и фактическими действиями (п. 2 ст. 1153 ГК РФ)

2. Признается, пока не доказано иное, что наследник принял наследство, если он совершил действия, свидетельствующие о фактическом принятии наследства, в частности если наследник:

вступил во владение или в управление наследственным имуществом; принял меры по сохранению наследственного имущества, защите его от посягательств или притязаний третьих лиц;

произвел за свой счет расходы на содержание наследственного имущества;

оплатил за свой счет долги наследодателя или получил от третьих лиц причитавшиеся наследодателю денежные средства.

Даже если Ваш отец в срок принятия наследства был просто прописан в спорной квартире, либо вносил плату за содержание и коммунальные услуги, то его можно считать принявшим наследство фактически.

Он может обратиться к нотариусу (любому по месту последнего жительства бабушки), предоставить документы, подтверждающие фактическое принятие наследства (справку о регистрации, выписку из домовой книги, квитанции об уплате коммуналки) и нотариус может выдать ему свидетельство о праве на наследство.

После чего он может заключить с Вами договор дарения и передать безвозмездно Вам долю в праве собственности на это имущество (договор также составляется у нотариуса).

Ваши переживания не напрасны, поскольку без документального оформления доля бабушки может стать выморочным имуществом.

«Гражданский кодекс Российской Федерации (часть третья)» от 26.11.2001 N 146-ФЗ — Статья 1151. Наследование выморочного имущества
 

1. В случае, если отсутствуют наследники как по закону, так и по завещанию, либо никто из наследников не имеет права наследовать или все наследники отстранены от наследования (статья 1117), либо никто из наследников не принял наследства, либо все наследники отказались от наследства и при этом никто из них не указал, что отказывается в пользу другого наследника (статья 1158), имущество умершего считается выморочным.

Не редко администрация города выходит в суд с исками о признании имущества выморочным, поскольку  нет документального оформления наследственных прав, и  тогда отцу придется встречным иском доказывать, что наследство он принял. Поэтому лучше оформить все таки документально наследственное имущество после смерти бабушки.