Здравствуйте. В большинстве случаев ваша позиция верна. Если срок договора найма истёк 30 мая, но наймодатель не потребовал освободить квартиру, а вы продолжили проживать в ней с его ведома и вносить плату, договор считается возобновлённым на тех же условиях на неопределённый срок.
В этом случае наймодатель не вправе потребовать освободить жилое помещение через неделю только по своему желанию. Согласно пункту 1 статьи 687 ГК РФ, наниматель вправе отказаться от договора, предупредив наймодателя за три месяца. Что касается наймодателя, то расторгнуть договор найма жилого помещения он может только по основаниям, предусмотренным законом, и, как правило, через суд. Одного уведомления о необходимости съехать через неделю недостаточно.
Однако окончательный ответ зависит от текста самого договора. Необходимо проверить, нет ли в нём специальных условий о порядке продления, прекращения договора после истечения срока, уведомлениях сторон и последствиях продолжения проживания после окончания срока найма.
Если в договоре отсутствуют особые условия и после 30 мая вы продолжили пользоваться квартирой с согласия наймодателя, оплачивая проживание, то требование освободить квартиру через неделю выглядит необоснованным. До разрешения вопроса вы вправе продолжать проживать в квартире и своевременно вносить плату за наём и коммунальные услуги.
Для точного ответа необходимо посмотреть договор найма. Можете направить его в личный чат — проверю условия продления и порядок расторжения, после чего дам окончательное заключение.