Закон (ст. 185 ГК РФ) не обязывает указывать в доверенности конкретное третье лицо (банк), достаточно общего описания полномочий. Вы можете выдать одну нотариальную доверенность с формулировкой: «на открытие банковских счетов, получение и обслуживание банковских карт, совершение операций по счетам в любых банках Российской Федерации».
Однако каждый банк, руководствуясь ст. 26 Закона «О банках и банковской деятельности» (банковская тайна) и правилами идентификации клиентов (ФЗ № 115-ФЗ), вправе затребовать оригинал или нотариально заверенную копию доверенности, проверить полномочия представителя и отказать в совершении операций, если сочтёт документ недостаточно определённым. На практике некоторые банки могут не принять «общую» доверенность без указания их конкретного наименования, это их право, а не нарушение закона.
Если этот ответ был полезен, нажмите на плюс под ним пожалуйста!