Могут ли повесить недостачу, если работаю у ИП без трудового договора?

Вам же еще не «повесили» недостачу, надо решать проблемы по мере их поступления. Обязанность заключить трудовой договор является обязанностью работодателя, а не вашей. Требование отработки при увольнении законно, хотя не понятно увольняетесь вы или нет. Можно пожаловаться в трудовую инспекцию и/или обратиться в суд в случае если вам не выплатят заработную плату. Могу помочь подготовить обращение в трудовую инспекцию, по поводу отсутствия трудового договора.

Добрый день!

 Заключали ли вы письменный трудовой договор?  Если да, то нужно в письменном виде потребовать копию трудового договора.

ТК РФ Статья 67. Форма трудового договора

Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.

Заявление на увольнение по собственному желанию пишется не позднее, чем за 14 дней до даты увольнения.

ТК РФ Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

По поводу ответственности, полная материальная ответственность может наступить только в случае подписания соответствующего договора.

ТК РФ Статья 244. Письменные договоры о полной материальной ответственности работников

 
Письменные договоры о полной индивидуальной или коллективной (бригадной) материальной ответственности (пункт 2 части первой статьи 243 настоящего Кодекса), то есть о возмещении работодателю причиненного ущерба в полном размере за недостачу вверенного работникам имущества, могут заключаться с работниками, достигшими возраста восемнадцати лет и непосредственно обслуживающими или использующими денежные, товарные ценности или иное имущество.

То есть необходимо смотреть, заключали ли вы такой договор, если да, то смотреть его условия, в таком случае обязательно должна производиться инвентаризация в соответствии с установленным порядком.