Возможно ли предъявление претензии ИП за невыполнение услуги в указанный срок?

Добрый день. Ссылаться на не заключение ими же договора в письменной форме достаточно глупо. Вы можете подать исковое заявление признать договор заключенным и взыскать к тому же моральный и материальный вред. Фактически доказать факт наличия между вами договорных отношений в том же судебном порядке будет очень легко, учитывая факт ваших переписок и произведения оплаты.Обычное следствие устного оформления сделки, для которой по закону требуется письменная форма, — лишение права в случае спора ссылаться на свидетельские показания (данное правило содержится в ст. 162 ГК РФ).  

 Устно не могут заключаться договора:

юрлицами вне зависимости от того, кем является 2-я сторона — организацией или гражданином;
между гражданами, если сумма сделки более 10 000 руб. (ч. 1 ст. 161 ГК РФ);
для договоров займа между гражданами на сумму более 10 000 руб. (п. 1 ст. 808 ГК РФ), 
для купли-продажи при реализации объекта недвижимости, 
для дарения, если даритель — организация, а дар стоит более 3 000 руб.;
для дарения, если это обещание передать в дар (ст. 574 ГК РФ). 

При возникновении спора по устному договору истец должен доказать:

Факт его заключения (т. е. согласования существенных условий).
Совершение сторонами действий во исполнение именно этого договора.