Если нет трудового договора, то требование о возмещении вреда может быть предъявлено только по общим основаниям, установленным Гражданском кодексом РФ. Это означает, что вред подлежит возмещению лицом его причинившим только при наличии доказанной вины причинителя вреда и его неправомерных действий. Если ущерб возник случайно, то возмещать ничего не придется.
Согласно статье 211 Гражданского кодекса РФ
Риск случайной гибели или случайного повреждения имущества несет его собственник, если иное не предусмотрено законом или договором.
В крайнем случае можно пожаловаться в Трудовую инспекцию на нарушение работодателем трудового законодательства, неоформление договора — получит проверку и штраф.