Добрый вечер!
1.Чтобы отказаться от ребенка, биологический отец пишет заявление в произвольной форме об отказе от родительских прав и дает согласие на усыновление. Можно написать такое согласие и позже. Заявление заверяется у нотариуса, затем его рассматривают органы опеки и попечительства, после этого подается исковое заявление в суд. В судебном заседании принимается окончательное решение о лишении отца родительских прав. На основании судебного решения вносится запись в органе загса. Добровольно отказаться от родительских прав возможно только при наличии веских к тому оснований, при этом лишение человека родительских прав согласно ч.2 ст.71 Семейного Кодекса РФ не освобождает родителя(ей) от уплаты алиментов на содержание ребенка.
2. Так же в связи с тем, что отец уже записан в качестве такового в надлежащем порядке( в Вашем случае запись о наличии отца есть в свидетельстве о рождении ребенка). Свидетельство о рождении не подлежит изменению. С точки зрения законодателя даже при лишении отца родительских прав матерью одиночкой вы не становитесь.
3. Согласно ст.145 СК РФ в случае гибели родителей или законных представителей ребенка над ребенком устанавливается опека или попечительство. В ч.1 ст.146 СК РФ устанавливается, что опекунами(попечителями) могут быть совершеннолетние дееспособные граждане, лица лишенные родительских прав не могут быть назначены опекунами(попечителями), однако согласно ст.72 СК РФ родители (один из них) могут быть восстановлены в родительских правах в случае, если они изменили поведение, образ жизни и (или) отношение к воспитанию ребенка.
На счет установления статуса матери-одиночки, согласно ППВС РФ № 1, при лишении отца родительских прав женщина признается одинокой матерью.