Вопрос: если сосед потребует больше и в случае отказа при свидетелях пригрозит подать заявление в полицию

Подчеркну, что мною выражена готовность возместить ущерб, но у нас может возникнуть спор по сумме, который я предложу решить либо экспертной оценкой, либо через гражданский суд. И если сосед откажется от всего этого и все же подаст заявление, то можно ли связаться с участковым, объяснить ситуацию, и добиться отказа в возбуждении против меня дела?

У вас абсолютно правильная позиция.

Участковый конечно вас выслушает, только не в его компетенцию входит вынесения постановления о возбуждении или об отказе в возбуждении уголовного дела а следователя.

Он  вероятно и вынесет постановление об отказе в возбуждении уголовного дела в связи с наличием гражданско правовых отношений.

На всякий случай сохраните всю переписку с владельцем двери.

Планирую прийти в указанную дату со свидетелем и под расписку передать соседу деньги.

 Правильное решение.

Расписку можно сформулировать так.

Я ФИО ( паспортные данные, адрес) получил от ФИО ( паспортные данные, адрес)   денежные средства в сумме в  качестве возмещения причиненного принадлежащего мне имуществу вреда.

Более к ФИО по данному вопросу претензий не имею.

По одному экземпляру для каждой стороны.

Свидетель тоже может расписаться.

Подчеркну, что мною выражена готовность возместить ущерб, но у нас может возникнуть спор по сумме, который я предложу решить либо экспертной оценкой, либо через гражданский суд.

 Свои договоренности с соседом о возмещении причиненного вреда, Вам, в указанной ситуации, уместно оформить на бумажном носителе, например, в форме письменного соглашения или расписки.

Причинение вреда является самостоятельным основанием возникновения обязательства.

И если сосед откажется от всего этого и все же подаст заявление, то можно ли связаться с участковым, объяснить ситуацию, и добиться отказа в возбуждении против меня дела?

Полиция Вам тут ничем не поможет. Описанная ситуация относится к гражданско — правовым отношения и к уголовно — правовым не имеет никакого прикосновения.

В любом случае, сосед вправе обратиться в суд с иском, о возмещении причненного вреда, указав, что оплаченная по соглашению, сумма его не устроила и что причиненный вред он оценивает в гораздо большую сумму. Тут нужно понимать то, что, в силу статьи 56 ГПК РФ, каждая сторона судебного процесса обязана доказать те обстоятельства и факты, на которые ссылается. Поэтому, без судебной оценочной экспертизы такие дела не обходятся (суд не наделен такими специальными познаниями). Сосед праве претендовать на возмещение вреда по реальным (рыночным) ценам.

Но, возмещать — то, все равно  — нужно. Поэтому, чем быстрее Вы  оформите свои договоренности и оплатите договорную сумму денег, тем быстрее сосед исправит (устранит) повреждение и предмет спора буде исчерпан.

Третье лицо можете указать в расписке или в письменном соглашении, как присутствующее при заключении данного акта.

Тут есть 2 варианта развития событий.

1. если двери повреждены умышленно. То исходя из стоимости поврежденного имущества может быть возбуждено уголовное дело по ст.167 УК РФ

УК РФ Статья 167. Умышленные уничтожение или повреждение имущества \ КонсультантПлюс (consultant.ru)

либо адм правонарушение 

КоАП РФ Статья 7.17. Уничтожение или повреждение чужого имущества \ КонсультантПлюс (consultant.ru)

Разграничение в том, будет ли ущерб значительным. Согласно примечанию к ст.158 УК РФ значительный ущерб для гражданина должен превышать 5000 рублей.

Если же двери повреждены не умышлено, то тут для возбуждения уголовного дела нужен ущерб свыше 250.000 рублей и то в случае 

Уничтожение или повреждение чужого имущества в крупном размере, совершенные путем неосторожного обращения с огнем или иными источниками повышенной опасности, -

Вряд ли дверь так дорого стоит и в данном случае ст.168 УК РФ вряд ли будет установлена в ваших действиях.

Однако, это не освобождает вас от решения вопроса о возмещении вреда, причиненного имуществу соседа в рамках требований ст.15, ст.1064 ГК РФ.

И ваше обращение к нему по добровольному решению этого вопроса, правильно и обосновано и является наилучшим вариантом развития событий.