Здравствуйте, Елена!
Речь идёт именно о длительном отпуске без сохранения заработной платы для педагогических работников, на который они имеют право раз в 10 лет
Работа по совместительству (гл. 44 ТК РФ) — это работа по отдельному трудовому договору и используя отпуск по основному месту работы, Вы не обязаны брать отпуск по месту работы по совместительству (это Ваше право, если Вы сможете работать по совместительству).
Поэтому не вижу препятствий, если, находясь в отпуске в соответствии с Приказом Министерства образования и науки РФ от 31 мая 2016 г. N 644, Вы будете работать по совместительству.
Согласно п. 1 Постановления Минтруда РФ от 30 июня 2003 г. N 41 «Об особенностях работы по совместительству педагогических, медицинских, фармацевтических работников и работников культуры» Вы вправе осуществлять работу по совместительству на условиях трудового договора в свободное от основной работы время:
по месту их основной работы или в других организациях, в том числе по аналогичной должности, специальности, профессии,
С учётом моего ответа выше далее:
Общие положения закрепляет статья ТК РФ Статья 128. Отпуск без сохранения заработной платы.
Из статьи следует:
Также рекомендую ознакомиться с разъяснениями Роструда РФ по следующей официальной ссылке:
Во вложении к ответу типовые формы рекомендованные Рострудом РФ.
Далее я продолжу в следующем ответе ниже.