Сотрудник же не хочет подписывать его по причине того, что трудовой договор был составлен как липовый

Добрый день, Александр!

Конечно, Вы неправильно (незаконно) поступили, не оформив трудовой договор.

При этом, в таких случаях ситуация как раз не в пользу работника.

Трудовая инспекция и прокуратура ему ничем не помогут с вероятностью 99%.

Они не проводят проверки в таких случаях. Ответ примерно такой: нет трудового договора — нет оснований для проведения проверки.

Таким образом, чтобы чего либо добиться надо через суд сначала доказать факт наличия трудовых отношений. В компетенцию трудовой инспекции и прокуратуры это не входит. И это непростые судебные процессы для работника.

В общем, шансов у него крайне малою. 

Вы можете просто рассчитаться с ним и попросить больше не появляться на работе.

Пусть жалуется куда угодно.

Даже если она чего-то сможет добиться, максимум что Вам, как ИП, грозит — административный штраф 10 тысяч рублей.

Статья 5.27. КоАП РФ:

4. Уклонение от оформления или ненадлежащее оформление трудового договора либо заключение гражданско-правового договора, фактически регулирующего трудовые отношения между работником и работодателем, — влечет наложение административного штрафа на должностных лиц в размере от десяти тысяч до двадцати тысяч рублей; на лиц, осуществляющих предпринимательскую деятельность без образования юридического лица, — от пяти тысяч до десяти тысяч рублей; на юридических лиц — от пятидесяти тысяч до ста тысяч рублей.

Добрый день.

У вас сформировались, так называемые фактические трудовые отношения".

ТК РФ Статья 16. Основания возникновения трудовых отношений
Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен.

Прошло 1,5 месяца, и мне нечем платить сотруднику зарплату по причине отсутствия клиентов и продаж. Теперь я хочу уволить сотрудника, а он не хочет подписывать трудовой договор. Как мне быть?

Так как договор не заключен, то и расторгать нечего.

Вы можете более не допускать его на территорию  объекта как сотрудника и попросить его более не приходить.

Вы нарушили трудовое законодательство и вам может грозить  административная ответственостью Вот пожалуй и все.

Здравствуйте Александр.

… Есть сотрудник, с которым нет трудового договора. Сделать его нет проблем. Сотрудник же не хочет подписывать

Т.е. между Вами ранее уже возникли фактические трудовые отношения. если да,. то это само по себе уже нарушение, и  здесь следует отметить то, что по закону ответственность за неисполнение обязательных норм трудового кодекса РФ несёт работодатель.

ТК РФ Статья 67. Форма трудового договора.

Из статьи следует:

Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.

При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе...-https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/6078748fd8dbb18fea7eae954601330d205c3c79/

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.