Можно ли выйти на работу во время больничного по требованию работодателя?

Выходить на работу 13.07 работодатель Вас заставить не может - пока открыт больничный, Вы официально нетрудоспособны, и вызов на работу в этот период незаконен по определению. Отпуск при этом продлевается автоматически на число дней болезни, совпавших с отпуском, это прямо закреплено в ст. 124 ТК РФ - никакого заявления или согласия работника закон для этого не требует, продление происходит по факту наличия больничного.

Предложение "отгулять позже" - это фактически попытка работодателя оформить прогулянные дни болезни как обычные рабочие, что противоречит закону. Если Вы выйдете 13-14.07 по просьбе работодателя, формально это будет считаться работой в период временной нетрудоспособности - для Вас это риск (можно потерять часть больничных выплат за эти дни, ФСС может не оплатить дни, отработанные "по факту"), а для работодателя - нарушение с возможным штрафом.

Дальше нужно разобраться, что делать с 15.07 - выходить сразу на работу или продлевать отпуск дальше, и как правильно зафиксировать это перед работодателем, чтобы не попасть на прогул или потерю денег.