Могу ли я уйти в отпуск по уходу, учитывая мои обстоятельства?

Добрый день! Со мной был заключён трудовой договор сроком на три месяца (пометки что он срочный в договоре нет). Кадровик говорит что таким образом они заключают договора на время испытательного срока, после окончания испытательного срока заключается дополнительное соглашение, где написано что действие договора продлевается бессрочно.

Уже третью неделю после окончания действия 3-х месячного договора со мной дополнительное соглашение не заключается. Объясняется это тем, что всем некогда заниматься этим.

Я хочу уйти в отпуск по уходу за ребёнком до 3-х лет (ребёнку 2 года).

Уточните, пожалуйста, могу ли я уйти в отпуск по уходу, учитывая мои обстоятельства?

Будет ли это законно, учитывая обстоятельство, что я уже третью неделю работаю без трудового договора?